MENTAL, UN LENGUAJE FRACTAL

“La geometría fractal no es solo un capítulo de matemáticas, sino uno que ayuda a todos a ver el mismo mundo de manera diferente” (Benoît Mandelbrot)

“Los fractales son el medio más simple de crear complejidad” (Jorge Wagensberg)

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La Geometría Fractal
Definición de fractal

No existe una definición precisa y formal, unánimemente aceptada, del concepto de fractal. La definición más común es de tipo intuitivo: un fractal es un objeto geométrico jerárquico que se incluye a sí mismo un cierto número de veces en cada nivel, o un objeto geométrico que contiene un patrón que se repite indefinidamente.

Conjunto de Cantor (generación)

Curva de Koch abierta (generación)

Curva de Koch cerrada (generación)

Los objetos fractales son formas geométricas resultado de la aplicación de ciertas leyes generadoras simples que se aplican de forma recursiva o iterativa en cada nivel, de forma que el resultado, que puede ser complejo, refleja homogeneidad espacial, escalado y autosemejanza. Un conjunto autosemejante es el que puede descomponerse en partes, cada una de las cuales representa al conjunto total. Figuras semejantes son las que tienen idéntica forma, aunque pueden diferenciarse en el tamaño, la ubicación espacial y la orientación.

Conjuntos fractales autosemejantes célebres son: el conjunto de Cantor (también llamado “polvo de Cantor”) y la curva de Koch en sus versiones abierta y cerrada (ver figuras). Para generar el conjunto de Cantor, se toma un segmento y se divide en tres partes. Se elimina el segmento central. Con los dos segmentos restantes se aplica el mismo procedimiento, y así hasta el infinito. La generación de la curva de Koch se basa en sustituir un segmento por cuatro segmentos iguales de longitud 1/3, como indica la figura, y a cada uno de ellos se le vuelve a aplicar el mismo procedimiento, y así hasta el infinito.

Otros ejemplos de fractales son las curvas de Peano y de Hilbert. Ambas son curvas continuas que pasan por todos los puntos de un cuadrado. La curva de Hilbert es una variación de la curva de Peano.

Curva de Peano (generación)	Curva de Hilbert (generación)

Las estructuras y fenómenos fractales

Los fractales se encuentran en todas partes, en la naturaleza y en todo tipo de procesos dinámicos: en la morfología de los árboles, en las flores (loto), en las plantas (coliflor, helecho), en la formación de las rocas, en el sistema circulatorio humano (venas, arterias, capilares), en el sistema nervioso, en los pliegues del cerebro, en las fluctuaciones del mercado de valores, en la estructura de las galaxias, en la empresa, en el arte, en los ritmos biológicos, en los rayos, en la formaciones porosas, en las costas, en las fronteras, en el movimiento browniano, en la evolución de las poblaciones, etc.

Hay un orden fractal, más o menos oculto, que subyace en los fenómenos naturales. En los fractales hay autosimilaridad (o autosemejanza) recursiva, es decir, que el mismo patrón se repita en todos los niveles. El fractal se contiene a sí mismo, hace referencia a sí mismo: en cada parte está el todo, y el todo está en cada parte.

Coliflor Romanescu	Helecho

Fractales regulares e irregulares

Los fractales pueden ser regulares (como el de Cantor y el de Koch) o irregulares, según se conserve o no, respectivamente, la misma estructura en los diferentes niveles.

Un fractal aleatorio es un fractal irregular generado mediante algún parámetro aleatorio. Un fractal aleatorio es, por ejemplo, el conjunto de Cantor, pero eliminando en este caso un segmento central de longitud aleatoria, repitiendo la operación sobre los otros dos segmentos, y así sucesivamente.

Los fractales de la naturaleza son más o menos irregulares. El movimiento browniano es muy irregular. Una montaña es un fractal aleatorio. Los helechos, en especial, tienen una fractalidad casi perfecta.


Características de los fractales

Los fractales son objetos de tipo trascendental, pues unen características opuestas o duales, integrando los dos modos de consciencia (los asociados a los hemisferios cerebrales):

• Unen parte y todo.
  Hay autosemejanza, es decir, un mismo patrón gráfico (el objeto completo) se repite en los diferentes niveles o escalas. Hay reflexión, pues un fractal hace referencia a sí mismo.
  
  La autosemejanza es una propiedad universalmente extendida en una gran variedad de fenómenos: las variaciones climatológicas, la formación de masas coralinas, los flujos en régimen de turbulencia. La autosemejanza puede ser determinista o aleatoria. Los fractales autosemejantes de la naturaleza lo suelen ser en sentido aleatorio.
  
  
• Unen lo finito y lo infinito.
  El que un fractal se contenga a sí mismo solo es posible si hay infinitos niveles. A nivel aritmético también se cumple que el infinito es fractal porque se contiene a sí mismo: (∞ =: ∞+1). Por ejemplo, la curva de Koch parte de un segmento finito y se convierte en una curva de longitud infinita, pues en cada recursión la longitud aumenta en la proporción 4/3.
  
  
• Unen simplicidad y complejidad.
  “Los fractales son el medio más simple de crear complejidad” (Jorge Wagensberg). Hay simplicidad en lo profundo, aunque externamente, superficialmente, muestren gran complejidad. En efecto, los fractales se generan mediante reglas simples. Por ejemplo, a partir de la simple expresión recursiva z = z² + c, en donde z es una variable compleja y c una constante compleja, por iteraciones sucesivas, se llega algo extremadamente complejo, en este caso el llamado “conjunto de Mandelbrot”, un conjunto que marca la frontera entre orden y caos. Sin embargo, la complejidad es organizada u ordenada, pues la misma estructura de conexiones une las diferentes escalas.
  
  
• Unen teoría y práctica.
  Los fractales son a la vez una teoría matemática y un método para modelizar una gran diversidad de fenómenos.
  
  
• Unen espacio y tiempo.
  Los fractales aparecen como estructuras estáticas y como estructuras dinámicas o procesos (como el crecimiento de las plantas). Los objetos fractales son objetos que se despliegan en el espacio-tiempo de manera armónica, de tal forma que el proceso de evolución es fractal porque se apoya en una estructura fractal, optimizando el número de conexiones en el mínimo espacio. “La fractalidad prioritariamente coloniza. Es una manera de llenar el espacio, es una manera de crecer” (Jorge Wagensberg).
  
  
• Unen orden y caos.
  Las formas fractales de la naturaleza son muy variadas y, en general, no son regulares. Tampoco responden a un caos completo. Las formas naturales siguen lo que se ha denominado “caos organizado”, un caos ordenado geométricamente.
  
  
• Unen liberad y determinismo.
  La libertad reside en que se pueden elegir libremente las leyes generadoras. Una vez elegidas, aplicadas recursivamente, se genera el dibujo completo de manera determinista.
  
  
• Une lo real y lo imaginario.
  Los fractales más complejos (como el conjunto de Mandelbrot) se producen en el plano complejo. Es ahí donde lo imaginario se hace real, tangible, experiencial.
  
  
• Unen o conectan los espacios geométricos de dimensiones contiguas.
  Una de las características de los fractales es su dimensión fractal D, que mide su grado de ocupación del espacio. En general, es un número no entero. Por ejemplo, la dimensión fractal de la curva de Koch es un número irracional, de valor aproximado 1,1618, es decir, está entre 1 (la dimensión de la recta) y 2 (la dimensión del plano). Y la dimensión fractal del conjunto de Cantor es otro número irracional, aproximadamente 0,6309, conectando en este caso el punto (dimensión 0) y la recta (dimensión 1).
  
  
• Unen mente y naturaleza, mundo interior y mundo exterior, lo particular y lo general, consciente e inconsciente, ciencia y humanismo (incluso espiritualidad).
  
  
  • Contemplar un fractal nos genera un doble movimiento de la consciencia: ver lo particular en lo general y ver lo general en lo particular. Nos conectan con lo profundo de nosotros mismos y de toda la realidad, con la consciencia universal, la consciencia pura, la fuente de todo, el campo de todas las posibilidades, de todos los significados, donde todo está conectado, donde reside la unidad esencial de todas las cosas.
    
    
  • Además de ser una ciencia, los fractales humanizan. Al ser percibidos (a nivel superficial) detienen el tiempo y paran la mente, interiorizándonos hacia nuestro verdadero ser, donde hay orden y belleza y donde no hay espacio ni tiempo. “Contemplar una forma fractal impresiona. Se experimenta gozo mental” (Jorge Wagensberg). Los fractales armonizan e incluso curan. Al conectarnos con nuestro ser interior, los pensamientos se calman, produciendo orden y equilibrio.
    
    
  • Los fractales han supuesto una nueva forma de contemplar el mundo, que nos han hecho más conscientes de nuestra naturaleza externa e interna. Los fractales son consciencia porque son recursivos, pues la recursividad es una de las características de la consciencia.
    
    
  • Precisamente porque los fractales tienen una dimensión no entera, podemos considerar que conectan el consciente y el inconsciente. En efecto, los números racionales (que incluyen a los enteros) pertenecen al mundo exterior, superficial, consciente. Los números irracionales pertenecen al mundo interior, profundo, inconsciente.

Además, en la consciencia se produce una resonancia fractal. Todos los estados de consciencia son estados resonantes. La resonancia se produce cuando diferentes niveles simultáneos interaccionan y se refuerzan entre sí. Cuando percibimos un objeto (superficial), sus diferentes aspectos (color, tamaño, forma, etc.) nos conectan con conceptos generales, y estos a su vez con otros conceptos aún mas generales, y así sucesivamente, en un proceso ascendente hacia lo universal y profundo. A su vez, los conceptos generales de cada nivel conectan o hacen resonar en nuestra consciencia otros conceptos particulares. Estas conexiones son manifestaciones de la consciencia. Cuanto más profunda y amplia es esta red de conexiones, mayor es la consciencia.

Como conclusión, podemos decir que los fractales integran los dos modos de consciencia, al evocar la estructura de la realidad jerarquizada desde el nivel profundo hasta el superficial, resultando o produciendo una mayor consciencia, pues la consciencia es la percepción de los opuestos. Con los fractales el mundo se ve de otra forma, de una forma más profunda, donde todo está conectado.


El Paradigma Fractal
El fenómeno de los fractales es un descubrimiento-invención muy importante, hasta el punto de que se considera algo que trasciende la geometría para convertirse casi en una panacea, en un paradigma universal, una forma nueva y unificadora de ver la realidad, una nueva consciencia que nos conecta con la esencia de todas las cosas, pues se afirma que todo es fractal: la naturaleza, el universo y la mente.

En efecto, muchas formas externas de la naturaleza parecen seguir patrones o características fractales. Siempre que sea necesario maximizar una superficie minimizando la masa, la naturaleza utiliza la estructura fractal, como en las formas ramificadas de nervios, pulmones y árboles. “Los fractales colonizan” (Jorge Wagensberg).

Sin embargo, lo fractal es solo un aspecto de la naturaleza. Como dice Mandelbrot, “la geometría de la naturaleza tiene una cara fractal”. Lo fractal es un aspecto o dimensión de la naturaleza. Hay, evidentemente, fenómenos que no son de tipo fractal.

Sin embargo, si generalizamos el concepto de fractal y consideramos o denominamos fractal a todo aquello que puede generarse mediante un simple conjunto de leyes o patrones simples que, al aplicarse recursivamente, producen la complejidad, entonces sí podemos afirmar que todo es fractal, pues tras la diversidad de los fenómenos se esconden los mismos simples principios y las mismas leyes.


La mente fractal

La naturaleza interior (es decir, la mente humana) también parece estar configurada alrededor de ciertos patrones relativamente simples, por unas leyes universales, recursos o patrones semánticos que se aplican siempre y a todos los niveles. Es por ello que se puede afirmar que la mente es de naturaleza fractal y que lo fractal constituye una metáfora de la mente.

Existe actualmente una clara tendencia hacia una concepción fractal de la mente, justificada por dos motivos:

1. Por conexión o analogía con el papel de las estructuras fractales de la naturaleza. Hay correspondencia entre mente y naturaleza, entre mundo interno y mundo externo: entre las leyes que gobiernan el universo y las leyes de la mente. El ser humano tiene mente fractal. Por eso tiende a crear estructuras fractales de forma espontánea.
   
   
2. Porque la mente también forma parte de la naturaleza y es reflejo de ella. Según Pitágoras, la estructura de la mente es la estructura del mundo.

En efecto, la mente comparte características de los fractales:

• Es una estructura dinámica compleja y, al mismo tiempo, organizada (o auto-organizada). Existe armonía entre estos dos conceptos aparentemente contradictorios. Hay un orden natural que es la “complejidad organizada”.
  
  La complejidad surge de la aplicación recursiva de leyes generadoras simples. Las mismas leyes universales se aplican en cada nivel. La complejidad es así aparente, pues hay simplicidad subyacente.
  
  
• Es una estructura altamente interconectada a todos los niveles que facilita el libre flujo de la información. Esta gran riqueza de interconexiones a diferentes niveles le permite disponer de una red con en la que existen diferentes alternativas en la conectividad, es decir, un amplio margen de libertad.
  
  
• Es una estructura dinámica adaptable, en donde se crean nuevas conexiones, se refuerzan o debilitan otras ya existentes, etc. En definitiva, permite evolucionar como un organismo vivo. La consciencia está directamente relacionada con la cantidad y calidad de estas relaciones o conexiones.
  
  
• Es una estructura que permite lograr una optimización de los recursos disponibles y con la máxima compresión (mínimo espacio). La imagen física análoga sería de del cerebro (máxima compresión) y la del sistema nervioso (mínimo número de puntos de contacto).

Estas características son fundamentales para una salud mental, pues nos permiten abordar adecuadamente las múltiples situaciones de la vida con una gran variedad de recursos y opciones.


El inconsciente colectivo fractal

Según la teoría del inconsciente colectivo de Jung, existe una mente colectiva formada por un depósito de elementos arquetípicos, resultado de un largo proceso de evolución de la humanidad. Estos arquetipos, más que estructuras detalladas y concretas, son patrones, esquemas, relaciones cualitativas. “Los arquetipos son formas sin contenido” (Jung)

Este gran depósito de nuestras memorias ancestrales está estructurado en forma de red, con múltiples conexiones, con complejidad organizada y configurada de manera óptima. La hipótesis más razonable es que esta estructura sea un inmenso fractal compartido.

Con el proceso de evolución de la humanidad, la mente colectiva inconsciente se hace cada vez más compleja, más interconectada (con más relaciones). Una analogía que ilustra este tema (aunque a nivel real y consciente) es Internet, un depósito de información altamente interconectada.


El universo fractal

La distribución de materia en el universo sigue un patrón como resultad del Big Bang (el comienzo del tiempo) y escalado durante 14.000 millones de años de expansión cósmica. La cosmología se basa en el supuesto de que, cuando miramos al universo a las más grandes escalas (a más de 300 millones de años-luz), la materia se distribuye uniformemente en el espacio. Los cosmólogos llaman a esto una estructura homogénea (smooth). Pero estas ideas se están poniendo en cuestión y pueden conmover los cimientos de la cosmología, pues un grupo de investigadores [Gefter, 2007] afirma que la estructura del universo es fractal, tanto a grande como a pequeña escala, con los mismos patrones repitiéndose hasta el infinito. El mismo patrón se repite en los sistemas solares, las galaxias, los cúmulos y supercúmulos de galaxias. Sin embargo, esta teoría cuestiona la teoría de la relatividad general de Einstein y la hipótesis del crecimiento uniforme del universo a partir del Big Bang.

En general, la fractalidad del universo podría explicar la estructura profunda y oculta del universo y sus diferentes niveles de manifestación. Y, por lo tanto, su significado último, su esencia, que es fundamentalmente matemática:

• La distribución de materia del universo, incluyendo la materia oscura. La materia oscura es una forma invisible de materia que rodea a las galaxias y que representa el 80% de la masa total del universo.
  
  
• La energía oscura. Se admite en cosmología que la expansión del universo se debe a la llamada “energía oscura”, llamada así porque es una energía que no vemos. La explicación puede estar en que esta energía reside en un nivel más profundo de la realidad física, en un nivel no manifiesto, pero que quizás sea el soporte de la propia materia-energía manifiesta.
  
  
• El colapso del espacio-tiempo que se produce en el interior de los agujeros negros.
  
  
• La gravedad. Según Dan Winter, “la fractalidad crea la gravedad”.
  
  
• La masa imaginaria que se asocia a los taquiones, pues los fractales guardan una estrecha relación con los números complejos. Un taquión es una partícula hipotética capaz de moverse a una velocidad superior a la de la luz.
  
  
• La forma en espiral de los brazos de las galaxias espirales, pues la espiral es un tipo de fractal.
  
  
• La consciencia del universo, pues los fractales representan o simbolizan la consciencia.

El tiempo fractal

El tiempo es fractal porque se incluye a sí mismo, es decir, en todo instante está la totalidad del tiempo y cada escala del tiempo refleja la totalidad del tiempo: el presente, el pasado y el futuro. Es como el número infinito y el continuo, que se incluyen a sí mismos.

El tiempo es un aspecto de la consciencia y tiene dos polos (y, a nivel físico, asociados a los hemisferios cerebrales):

• Tiempo externo.
  Corresponde a nuestra percepción del mundo exterior. Lo percibimos de forma lineal, es superficial, fijo, finito y objetivo (común a todos los seres humanos). Está asociado al pasado, a la memoria, a lo cerrado y a lo real.
  
  
• Tiempo interno.
  Corresponde a nuestra percepción del mundo interior. Lo percibimos de forma no-lineal, circular, es profundo, flexible, infinito y subjetivo. Está asociado al futuro, a lo abierto, a lo posible y a la imaginación.

A nivel superficial (consciente), el tiempo se manifiesta de forma lineal. A nivel profundo, no existe el tiempo. Decía Einstein: “El tiempo es una ilusión”, una ilusión de nuestra mente superficial. Pero el tiempo es flexible. Se puede expandir si vamos hacia lo profundo. En el límite, en la consciencia pura, el tiempo desaparece. Por eso se dice que “El tiempo no se tiene, se crea”. Se crea desde lo profundo para manifestarse a nivel superficial. En la cultura occidental el tiempo se considera lineal. En la cultura oriental se admite sin cuestión que el tiempo es circular (o cíclico). El tiempo circular simboliza la unidad indivisible del tiempo, la eternidad, donde no existe ni principio ni fin.

El concepto de tiempo circular es muy antiguo. Su formulación renovada se debe a Nietzsche, con el “mito del eterno retorno”, idea planteada en “La Gaya Ciencia” y desarrollada en “Así habló Zaratustra”. Para Nietzsche lo que se repite son, no solo los acontecimientos, sino también los pensamientos y las emociones.

El presente no existe porque no tiene extensión temporal. El presente es una abstracción, no existe realmente, como no existe el punto geométrico. Lo que llamamos presente es una sensación producida por la persistencia de los sucesos en nuestra memoria.

El tiempo externo es una magnitud física. Desde la aparición de la teoría de la relatividad especial de Einstein, sabemos que espacio y tiempo van unidos, que es necesario hablar de espacio-tiempo. También se han realizado intentos de resolver ciertos problemas de física teórica usando el concepto de tiempo circular. El más destacado es el de Gödel, que dio una nueva interpretación a la teoría de la relatividad de Einstein.

Tiempo y mente están conectados, son inseparables. El tiempo es realmente una ilusión, una construcción de la mente, un concepto creado para interpretar la realidad. Pasado y futuro carecen de realidad propia. Lo único que permanece es el continuo presente. La mente percibe el tiempo porque se sincroniza con lo exterior, con los fenómenos, pero a nivel interno el tiempo se diluye, desaparece.

Pero es posible “liberarse” del tiempo. La clave consiste en vivir permanentemente en el presente, pues en el presente no existe el tiempo. Es lo que Eckhart Tolle llama “El Poder del Ahora”. Mediante la consciencia del ahora se logra la liberación del tiempo. “La iluminación es un estado de totalidad en el que estás ‘unificado’, y por lo tanto estás en paz” (Eckart Tolle).

En efecto, cuando la mente está conectada con el pasado (memoria) o con el futuro (imaginación), la mente está en actividad. Cuando la mente se conecta con el presente, el tiempo se para y la mente (al estar sincronizada con el tiempo) también se para, se detiene. Es lo que Castaneda llama “parar el mundo”. Es entonces cuando se tiene acceso al Ser interior, al yo profundo, un estado de consciencia atemporal, la consciencia pura, la fuente de los pensamientos, lo absoluto, lo indiferenciado, el campo unificado de la consciencia, lo inmanifestado, el lugar donde todo está conectado, la fuente de la creatividad, la libertad y la felicidad, y donde se experimenta verdaderamente el flujo de la vida. “El Ser es la Vida Una, eterna y siempre presente” (Eckhart Tolle).

El Ser interior no puede captarse con la mente porque está más allá de la mente y los pensamientos, por lo que solo se puede acceder cuando la mente se aquieta. El Ser está oculto tras la mente activa. Si paramos la mente, entonces tenemos acceso al Ser. “Estar identificado con la mente es estar atrapado en el tiempo” (Eckhart Tolle).

La estrategia o técnica general, para acceder al Ser interior y detener el tiempo y la mente, consiste en dirigir la atención, en todo momento, a las percepciones, tanto internas como externas. En efecto, la mente básicamente emite (pensamientos) o percibe (sensaciones). La consciencia de las sensaciones detiene la mente. La percepción consciente es la herramienta para traer la mente al presente. La clave es percibir, observar sin analizar (pasado) y sin imaginar (futuro), centándonos solo en el proceso de percepción, en la contemplación. Al abrirnos a la percepción, se relajan la mente, el cuerpo y las emociones.

De aquí el papel que juega la percepción de los fractales en la detención del tiempo. Y, por lo tanto, en la interiorización y en la consciencia.


Lo fractal, arquetipo de la consciencia

Lo fractal es un arquetipo universal, una estructura que trasciende las formas particulares, que está más allá de los contenidos concretos. Y ese arquetipo es la autosemejanza, un tipo de reflexión que constituye el fundamento de la consciencia. En esta estructura o forma circular o reflexiva se anula el tiempo y se entra en el no-tiempo, en la eternidad, donde habita el Ser. Es una dimensión que está más allá de los conceptos particulares para convertirse en pura consciencia, una consciencia que está más allá de la mente analítica y que nos permite percibir la unidad de todas las cosas y acceder a un nivel profundo, trascendente, verdadero, esencial, de sabiduría, poder, libertad y creatividad.

Lo fractal es la estructura unificadora de la realidad. Lo fractal llega directamente a la consciencia, es “alimento” de la consciencia. El mensaje de los fractales es la conciencia.


Aplicaciones del paradigma fractal

El concepto de fractal ha sido y es uno de los conceptos más fértiles de la ciencia, que está teniendo una aplicación prácticamente universal, en todos los ámbitos Permite modelizar y explorar muchos fenómenos e incluso actividades humanas. He aquí algunas de las aplicaciones:

• Antenas fractales. Una antena fractal es una antena diseñada de forma autosimilar para maximizar su longitud respecto a una superficie dada. Además de ser más compactas que las convencionales, son capaces de funcionar con diferentes frecuencias de manera simultánea. En 1999, se descubrió que la autosimilaridad era uno de los requerimientos necesarios para que las antenas fueran invariantes (que tuvieran las mismas propiedades) en un rango de frecuencias.
  
  
• La geometría fractal es el lenguaje natural de la teoría del caos y de los sistemas no-lineales, como el tiempo atmosférico, la turbulencia de los fluidos, las transiciones de fase entre líquido-sólido y gas-líquido, etc.
  
  
• Música fractal. Algunos ejemplos: Sergent Pepper (Los Beatles), la música tradicional japonesa, las regas de la India, las canciones populares de la viaja Rusia, el jazz, la música medieval, Bach, Beethoven, Erik Satie, etc.
  
  
• Pintura fractal. Por ejemplo, en Escher, Dalí, Jackson Pollock y Max Ernst.
  
  
• Empresa fractal. Es la aplicación del paradigma fractal al mundo de la empresa y, particularmente, al mundo de la fabricación o manufacturación. La idea original, desarrollada en 1992 por Hans-Jurgen Warnecke, se basa en los principios de autosemejanza, auto-organización, dinamicidad, descentralización y cooperación.
  
  
• Compresión fractal de imágenes y generación de paisajes mediante algoritmos fractales. Son muy eficientes, pues ahorran espacio de memoria y tiempo de proceso.
  
  
• La arquitectura fractal es un nuevo paradigma de la arquitectura basada en la aplicación de los principios de la geometría fractal. La arquitectura fractal, pese a ser reflejo de la actual cultura de las nuevas tecnologías de la información (de amplia difusión), tiene un cierto aire misterioso y secreto, como sucedió antiguamente con las catedrales góticas y los masones. Pero en cierto modo enlaza con la arquitectura sagrada, pues conecta con formas que afectan a la consciencia. La geometría sagrada es una metáfora de la ordenación del universo, es decir, el estudio de las proporciones, patrones, códigos y símbolos que subyacen en todas las manifestaciones de la creación. Es la génesis de todas las formas y una vía para comprender nuestra verdadera naturaleza.

MENTAL, un Lenguaje Fractal
El paradigma fractal puede parecer en principio un paradigma más, una forma de estructurar la información como el paradigma funcional, el objetual, etc. Sin embargo, el paradigma fractal, por su estrecha relación con el tema de la consciencia y presentar muchas características universalistas, lo convierten en algo especial y profundo, de tal forma que podemos afirmar que es un paradigma universal si lo consideramos como un paradigma basado en unos conceptos iniciales simples aplicados recursivamente. En este sentido, existen paralelismos con MENTAL. He aquí los puntos de coincidencia:

• Simplicidad generativa.
  Los fractales utilizan siempre las mismas leyes generadoras simples a cualquier escala. MENTAL utiliza siempre las mismas primitivas, también simples, a cualquier escala.
  
  
• Complejidad del resultado.
  El resultado de aplicar las leyes simples de forma recursiva o iterativa, produce estructuras complejas. La complejidad es sólo aparentemente, superficial, pues lo profundo remite a la simplicidad.
  
  
• Reflexión.
  Los fractales son reflexivos, hacen referencia a sí mismos. MENTAL es un lenguaje reflexivo. La reflexión es una de las características que se asocian con la consciencia.
  
  
• Conectan mente y naturaleza, mundos interno y mundo externo. Aumentan la consciencia, y despiertan nuestra intuición.
  
  
• Hay máxima libertad y creatividad. Estos dos conceptos van unidos. En los fractales hay libertad en la elección de las leyes generadoras, con la consiguiente creatividad. En MENTAL, las primitivas son precisamente los grados de libertad de la consciencia. Y la creatividad proviene de la conectividad a nivel profundo de las primitivas semánticas.
  
  
• Permite expresar y conectar lo finito y lo infinito. Los fractales conectan lo superficial y finito con lo profundo e infinito. MENTAL permite expresar lo finito y lo infinito, esto último mediante expresiones descriptivas.

Además de ser un lenguaje fractal, MENTAL permite especificar expresiones fractales (y, por lo tanto, de tipo infinito) de manera muy simple y directa, mediante recursividad y utilizando la sustitución potencial.

Como conclusión, podemos afirmar que MENTAL es un lenguaje fractal, en el sentido generalizado (se aplican los mismos recursos lingüísticos en todos los niveles), integrando los dos polos de consciencia, como los fractales. Pero MENTAL va más allá del paradigma fractal, pues tiene más recursos y posibilidades semánticas como: enlaces no locales, compartición, expresiones virtuales, etc.

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Adenda
Breve historia de la geometría fractal

• Los fractales han sido representados en arte y arquitectura, más o menos conscientemente, en todas las culturas a lo largo de la historia. El concepto de fractal se puede remontar incluso a Aristóteles, pero se considera que las ideas en este campo arrancaron con Cantor y su famoso conjunto (polvo de Cantor), descrito en 1883, a las que siguieron las curvas de Peano (1891) y de Hilbert (1892).
  
  
• A principios del siglo XX, Henri Poincare, Pierre Fatou y Gaston Julia estudian los sistemas dinámicos complejos, donde aparecen formas irregulares. Fatou y Julia estudiaron la función compleja recursiva z = z² + c, descubriendo que para todo valor de c, el conjunto asociado es solo dos tipos: conexo (formado por una sola pieza) o completamente disconexo (formado por una nube de puntos dispersos). Julia descubrió que basta con estudiar si el punto z=0 diverge o no para deducir si el conjunto completo es conexo o disconexo.
  
  
• Gaston Julia escribió en 1918 (a los 25 años de edad) “Mémoire sur l'itération des fonctions rationnelles” (Memoria sobre la iteración de las funciones racionales), un voluminoso artículo de 199 páginas, una obra maestra semiolvidada hasta que fue recuperada décadas más tarde por Mandelbrot como base teórica de la geometría fractal. En dicho artículo, discutía la iteración de una función racional, tema que también estudiaba, simultáneamente y de una manera similar, pero desde una perspectiva diferente, otro francés contemporáneo suyo, Pierre Joseph Louis Fatou. Este trabajo fue tan importante que le valió el Gran Premio de la Academia de Ciencias francesa y lo hizo famoso en casi todos los centros matemáticos importantes de su tiempo (la Academia también reconoció la contribución de Fatou otorgándole un segundo premio).
  
  
• En 1919, Hausdorff formula el concepto de dimensión.
  
  
• En 1961, Lewis Fry Richardson, en uno de sus artículos póstumos, se planteaba la cuestión de como medir la longitud de una frontera o litoral irregular, dentro de sus estudios sobre las causas de la guerra entre dos países con frontera común. Observó que había grandes diferencias de mediciones, que variaban en función de la unidad de medida.
  
  
• En 1967, Seymour Paper, Daniel Bobrow y Wally Feurzeig inventan el lenguaje Logo con fines didácticos. Este lenguaje utiliza la llamada “geometría de la tortuga”, una forma de generar objetos geométricos de forma local, como alternativa a los sistemas gráficos basados en coordenadas. La tortuga se mueve dejando un rastro (una línea) mediante comandos tales como avanzar tantos pasos, girar un cierto ángulo, etc. y utilizando recursividad.
  
  
• En 1968, Aristid Lindemayer, inventa el sistema-L, un lenguaje para simular el crecimiento de los organismos vivos, inspirado en el lenguaje Logo. Por ejemplo, la curva de Koch en sistema-L es:
  
  
  Alfabeto: F + − (F indica segmento, + indica giro de 60º, − indica giro de −60º)
  Axioma: F
  Regla: F → F + F −− F + F
  
  
• En los años 1970s, con el desarrollo de la informática gráfica, se empezaron a estudiar esas estructuras fascinantes que incluían autosemenjanzas, principalmente por Benoît Mandelbrot, que intuyó su enorme potencial para construir modelos de la realidad. Mandelbrot denominó a estas formas “fractales” (del adjetivo latino fractus, interrumpido, roto, irregular). “Fractal” tiene la misma raíz que “fragmentado” y “fraccionado”. Este nombre ha sido muy acertado y ha contribuido a su rápida difusión. Según Mandelbrot, “fractal” es etimológicamente opuesto a “álgebra”, pues “álgebra” (del árabe, jabara) significa unir, atar, y “fractal” es desunir, romper, fraccionar.
  
  Mandelbrot es considerado el padre de la revolución fractal. “Las nubes no son esféricas, ni cónicas las montañas, una costa no es una circunferencia, ni una corteza un plano, y ni el rayo traza líneas rectas”. “He concebido, puesto a punto y utilizado extensamente una nueva gemetría de la naturaleza” (Mandelbrot).
  
  El acta fundacional de los objetos fractales, tal y como hoy los conocemos es su libro “Los Objetos Fractales” [1987]. “Mi libro [...] es un documento histórico” (Mandelbrot). Posteriormente, Mandelbrot publicó un libro mucho más extenso y completo: “La Geometría Fractal de la Naturaleza” [1997]. En estos libros se hace referencia a Richardson en un capítulo titulado “¿Cual es la longitud de la Costa de Bretaña?”. También reconoce que la idea de autosemejanza recursiva procede de Leibniz.
  
  
• En 1981, J.E. Hutchinson [1981] elaboró una teoría unificada de los conjuntos fractales autosemejantes, mediante transformaciones de semejanza contractivas. Una transformación es contractiva si todo par de puntos se encuentran más próximos después de dicha transformación.
  
  
• A.R. Smith (en 1984) y P. Prusinkiewicz (en 1986) representan por ordenador los sistemas-L, produciendo modelizaciones de plantas, árboles y arbustos de aspecto casi real. Los sistemas-L permiten generar los conjuntos fractales clásicos de manera simple.
  
  
• En 1985, Michael F. Barnsley generalizó el método de Hutchinson mediante los Sistemas de Función Iterada (Iterated Function Systems, IFS). Una función iterada es un conjunto finito de transformaciones contractivas del tipo W(x, y) = (ax+by+e, cx+dy+f).
  
  Este tipo de transformación permite realizar giros, traslaciones, simetrías y homotecias (cambios de escala en X y en Y) a cualquier conjunto del plano.
  
  El procedimiento de generación de un fractal consiste en coger un punto cualquiera y aplicarle una de las W_i al azar. Se dibuja el punto. Se vuelve a elegir otra W_i al azar y se vuelve a dibujar el punto. Y así sucesivamente. Las ventajas de esta técnica son:
  
  
  1. Se pueden generar fractales autosemejantes o no.
     
     
  2. Se pueden generar fractales que se pueden aproximar, tanto como se desee, a cualquier imagen natural, por muy irregular que sea.
     
     
  3. Basta con almacenar la familia de contracciones para regenerar la imagen cuando se desee, con el consiguiente ahorro de memoria.
     
     
  4. Permite generar los conjuntos clásicos regulares de la geometría euclídea.
  
  Barnsley justifica el método IFS mediante el “Teorema del Collage”, publicado en su libro “Fractals Everywhere” [1988], que permite aproximar mediante fractales una imagen, descomponiéndola en partes, de tal forma que cada una de ellas se obtiene a partir de la imagen total mediante una aplicación contractiva (mantiene la forma y cambia el tamaño).

El fractal de Mandelbrot

También llamado “conjunto de Mandelbrot”, y también “el Buda”, es probablemente el fractal más famoso y uno de los grandes descubrimientos matemáticos del siglo XX.

El fractal de Mandelbrot

• Es una figura de enorme complejidad (de hecho, es la forma más compleja de las formas matemáticas). El conjunto de Mandelbrot contiene infinitas copias de sí mismo.
  
  
• En cada punto hay un conjunto de Julia, el que corresponde a la constante c. El conjunto de Mandebrot es el conjunto de puntos c para el que el conjunto de Julia asociado es conexo. Estos conjuntos de Julia se repiten una y otra vez al hacer zoom, pero el conjunto de Mandelbrot (la curva continua) cambia constantemente, y representa las transiciones entre los posibles conjunto de Julia. El conjunto de Mandelbrot es la unión de todos los posibles conjuntos de Julia en el plano complejo.
  
  
• Su generación es muy simple, pues se genera mediante la función recursiva en el plano complejo z = z² + c. Se representan los puntos del plano complejo que convergen (los que llegan a un valor finito), es decir, los puntos frontera entre convergencia y divergencia. El resultado es una sola curva continua.
  
  
• Es el paradigma de la unión de lo simple y lo complejo. “El conjunto es de una pasmosa combinación de extrema simplicidad y vertiginosa complejidad” (Mandelbrot).
  
  
• Paradójicamente, el fractal de Mandelbrot −el fractal más famoso de todos− no es realmente un fractal, porque carece de la propiedad de autosemejanza. Al estudiar sus fronteras con un detalle cada vez más fino, no se repiten las mismas estructuras, sino que aparecen geometrías siempre nuevas. Este fractal incluye todas las propiedades fundamentales de las funciones no lineales.
  
  
• El conjunto de Mandelbrot, aparte de su forma insólita y enigmática belleza, es de una gran importancia teórica y práctica:
  
  
  • Es la curva máxima que llena el espacio de 2 dimensiones. De hecho, su dimensión es 2.
    
    
  • Se relaciona con la ecuación del caos de doble periodo. Una ruta hacia el caos es un mecanismo por el cual un sistema dinámico con un parámetro pasa de un estado no caótico a un estado caótico determinista (función de dicho parámetro). La ruta hacia el caos más famosa es una cascada de doble periodo, que sirve para describir la expansión de una población, el crecimiento de las plantas, la inestabilidad del tiempo atmosférico y otros procesos físicos.
    
    
  • Tiene muchas aplicaciones tecnológicas: almacenamiento de datos, análisis de información, antenas fractales, etc.
  
  
• Por último, decir que el conjunto de Mandelbrot se ha propuesto como símbolo de la consciencia y también del inconsciente colectivo.

Dimensión fractal

La dimensión fractal D (o dimensión de Haussdorf-Besicovitch) es diferente de la dimensión topológica D_T y se define como

D = lim(log N(h) / log 1/h)
cuando h → ∞

siendo N(h) el número de objetos elementales de magnitud h que se necesitan para cubrir el conjunto fractal. La dimensión de un segmento y la de una circuferencia es 1. Para un objeto regular formado por objetos elementales iguales y con autosemejanza perfecta, la dimensión fractal es D = log(N(L))/log(1/L), siendo L la longitud de un objeto elemental y N(L) el número de dichos objetos elementales.

• En el caso del fractal de Koch, L=1/3, N=4, D=log 4/log 3 ≅ 1,1618 y D_T=1 (como línea que es).
  
  
• En el caso del polvo de Cantor, L=1/3, N=2, D=log 2/log 3 ≅ 0,6309 y D_T=0 (como los puntos geométricos, a pesar de que son, en teoría, infinitésimos).
  
  
• La dimensión de las curvas de Peano y Hilbert es 2, pues cubren todos los puntos de un cuadrado.

Según Mandelbrot, una definición más general de fractal es “un conjunto cuya dimensión fractal D es mayor que su dimensión topológica D_T”. Esta definición incluye a objetos que pueden no ser autosemejantes.


Fractales vs. hologramas

Se suele afirmar que el universo es de tipo holográfico, en donde cada parte refleja la totalidad. Sin embargo, es más exacto hablar del universo fractal. Las diferencias son las siguientes:

• En el fractal y en el holograma hay una relación todo-parte. En el fractal se repite el mismo patrón en todos los niveles. En el holograma cada parte de la imagen (por pequeña que sea) contiene la imagen entera. Por lo tanto, los hologramas tienen dos niveles y los fractales tienen infinitos.
  
  
• En el fractal hay autosemejanza. En el holograma hay identidad.
  
  
• En los fractales las leyes generadoras son simples y se genera fácilmente complejidad aplicando recursivamente estas mismas leyes o reglas. El grado de complejidad depende del número de niveles y de las leyes generadoras. En el holograma la complejidad es siempre la misma.
  
  
• En el fractal las leyes generadoras son diferentes en cada fractal particular. Por lo tanto, en los fractales hay libertad de creación, sin determinismo, lo que permite diversidad infinita. En el holograma el procedimiento es siempre el mismo; en el holograma no hay libertad.
  
  
• Los hologramas evocan la tercera dimensión (espacial). Los fractales evocan infinitas dimensiones.

Se suele afirmar que el universo es holográfico. Se ajusta más a la verdad decir que el universo es fractal. Toda la realidad física, desde la más pequeña partícula subatómica hasta las agrupaciones de galaxias, parecen seguir leyes de tipo fractal, que deben ser necesariamente simples pero que se manifiestan con gran complejidad en su despliegue.


La espiral logarítmica y la proporción aurea son fractales

La espiral logarítmica, también llamada espiral equiangular o "spira mirabilis" (como la llamó Jackob Bernouilli), se puede considerar un fractal porque se incluye, se repite o se auto-regenera a sí misma a todas las escalas. Es la espiral que más se prodiga en la naturaleza (girasoles, piñas, rosas, nautilus, caracoles, brazos de las galaxias espirales, borrascas, etc.).

Espiral logarítmica

Hay una relación muy estrecha entre la espiral logarítmica y la proporción áurea. La proporción áurea Φ es la manifestación más primaria y arquetípica de estructura fractal porque preserva su relación consigo misma. La característica principal de un fractal es su autosemejanza a todas las escalas.

La ecuación que define la proporción áurea es Φ = 1 + 1/Φ. Por lo tanto, la proporción áurea es una expresión fractal, pues se incluye a sí misma en todos los niveles. La proporción áurea es el fractal más simple y el más económico, pues hace referencia a sí misma. Los sistemas naturales tienden hacia un estado de máxima economía y máxima simplicidad, por lo que la proporción áurea es el fractal más utilizado en la naturaleza.


Teoría de la relatividad de escala

Propuesta por Laurent Nottale [1997], la teoría de la relatividad de escala es una teoría unificadora de lo microscópico y lo macroscópico, de la mecánica cuántica y la teoría de la relatividad, de la física clásica y la física moderna.

En la teoría de la relatividad las leyes de la naturaleza son las mismas para todos los sistemas de coordenadas de referencia. La teoría de la relatividad de escala añade a esto diciendo que esas leyes también son las mismas cualquiera que sea la escala del sistema de coordenadas, generalizando así el principio de relatividad. Según esta teoría:

• Todas las magnitudes físicas son de tipo fractal, incluyendo el espacio-tiempo. Las magnitudes físicas son funciones, pues dependen explícitamente de la resolución, es decir, de la precisión de la observación. Además nunca son exactas, son siempre aproximadas. Por ejemplo, una barra de acero, al observarla de cerca presentará poros, de modo que realmente no se puede considerar como un objeto de tres dimensiones, sino un objeto de dimensión fraccionaria (entre 2 y 3), es decir, un fractal.
  
  
• Los comportamientos cuánticos y clásicos son una cuestión de escala. A escala microscópica aparecen propiedades cuánticas. A escala macroscópica las propiedades son las clásicas. Las diferentes observaciones en los mundos micro y macro no provienen de que las leyes sean diferentes, sino que son las mismas leyes manifestándose a escalas diferentes.
  
  
• El espacio-tiempo se manifiesta como fractal al observarlo a escala subatómica. El espacio-tiempo lo podemos visualizar como una “espuma”.
  
  
• La propiedad fractal del espacio-tiempo se manifiesta en las trayectorias irregulares de las partículas (propiedad que descubrió Feynman), que no son diferenciables. Según el teorema de Lebesgue, toda curva continua no diferenciable tiene longitud infinita. Por lo tanto, la longitud de cada trayectoria es infinita (como toda curva fractal). Por eso no es observable y se ha interpretado de forma probabilística.
  
  
• Una trayectoria de una partícula libre es una geodésica del espacio-tiempo. A escalas pequeñas existe un número infinito de geodésicas. Una geodésica particular se asocia con la naturaleza corpuscular de una partícula.
  
  
• La transición fractal/no-fractal corresponde a la transición física cuántica/física clásica. La longitud de onda de De Broglie, asociada a una partícula, es el umbral entre el comportamiento fractal (mecánica cuántica) y no fractal (mecánica clásica).
  
  
• De la misma forma que la curvatura del espacio-tiempo define la gravitación, el espacio-tiempo fractal define las propiedades cuánticas. La estructura del espacio-tiempo es a la vez curva y fractal (no continua).
  
  
• De la misma forma que a gran escala existe un invariante de tipo máximo (la velocidad de la luz), existe a pequeña escala un invariante de tipo mínimo, no superable, que es la llamada “longitud de Planck” (1.6*10⁻³⁵ m).

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